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      2. 邏輯代數(shù)

        發(fā)布時(shí)間:2024-03-01
        邏輯代數(shù)或稱布爾代數(shù),它是分析與設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)字工具。它雖然和普通代數(shù)一樣也用字母(a,b,c,…)表示變量,但變量的取值只有1和0兩種,所謂邏輯1和邏輯0。它們不是數(shù)字符號,而是代表兩種相反的邏輯狀態(tài)。邏輯代數(shù)所表示的是邏輯關(guān)系,不是數(shù)量關(guān)系,這時(shí)它與普通代數(shù)本質(zhì)上的區(qū)別。
        在邏輯代數(shù)中只有邏輯乘(與運(yùn)算)、邏輯加(或運(yùn)算)和求反(非運(yùn)算)三種基本運(yùn)算。根據(jù)這三種基本運(yùn)算可以推導(dǎo)出邏輯運(yùn)算的一些法則,就是下面列出的邏輯代數(shù)運(yùn)算法則。
        1、邏輯代數(shù)運(yùn)算法則
        【基本運(yùn)算法則】
        (1)
        (2)
        (3)
        (4)
        (5)
        (6)
        (7)
        (8)
        (9)
        【交換律】
        (10)
        (11)
        【結(jié)合律】
        (12)
        (13)
        【分配律】
        (14)
        (15)
        證:
        【吸收律】
        (16)
        證:
        (17)
        (18)
        (19)
        證:
        (20)
        (21)
        【反演律(摩根定律)】
        (22)
        證:
        0
        1
        0
        1
        0
        0
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        0
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        1
        0
        0
        1
        1
        1
        0
        1
        1
        1
        0
        (23)
        證:
        0
        1
        0
        1
        0
        0
        1
        1
        1
        0
        1
        0
        1
        1
        0
        0
        1
        0
        0
        0
        1
        0
        0
        0
        2、邏輯函數(shù)的化簡
        為了便于比較,今將五種常用的邏輯門電路列于表中??梢詫⑦@些基本邏輯門電路組合起來,構(gòu)成組合邏輯電路,以實(shí)現(xiàn)各種邏輯功能。
        邏輯門



        與非
        或非
        邏輯符號
        邏輯式
        輸入邏輯變量
        a
        b
        y
        y
        y
        y
        y
        0
        0
        1
        1
        0
        1
        0
        1
        0
        0
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        1
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        1
        1
        0
        0
        1
        1
        1
        0
        1
        0
        0
        0
        表所列的各種邏輯式中,a和b是輸入變量,y是輸出變量;字母上面無反號的稱為原變量,有反號的稱為反變量。這幾個(gè)式子分別表達(dá)了相應(yīng)的與、或、非、與非和或非邏輯關(guān)系。輸出變量y也就是輸入變量a和b的邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)常用邏輯狀態(tài)表、邏輯式和邏輯圖(也稱邏輯電路)3種方法表示;它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。有時(shí)表示邏輯函數(shù)的邏輯式較為復(fù)雜,可進(jìn)行化簡,這就可以少用元件,可靠性也因而提高。
        例1、應(yīng)用邏輯代數(shù)運(yùn)算法則化簡下列邏輯式:
        解:
        簡化得
        由法則(19)得。所以
        由法則(6)得,所以
        由法則(19)得,所以
        由法則(22)得,所以
        由法則(19)得,所以
        例2、試證明
        證:
        (因)
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