由于機(jī)床控制電路中的控制元件如繼電器、接觸器、行程開關(guān)等都只有“通、斷”或“得電、失電”兩個(gè)狀態(tài)，即所謂的二值邏輯（我們把具有二值邏輯的控制元件稱為開關(guān)元件），因此可應(yīng)用邏輯代數(shù)這一數(shù)學(xué)工具來分析、設(shè)計(jì)機(jī)床電路。
1. 機(jī)床電器元件、電路的邏輯表示
邏輯代數(shù)中的基本邏輯關(guān)系為邏輯和、邏輯乘、邏輯非，若以1表示各開關(guān)元件的受激狀態(tài)（電器線圈得電，按鈕和行程開關(guān)處于受壓狀態(tài)），以0表示這些元件的原始狀態(tài)（電器線圈不得電、按鈕等未受壓），則上述三種邏輯關(guān)系與電路狀態(tài)之間的對(duì)應(yīng)如下：
① 邏輯非——表示變量的否定關(guān)系，即：如果a＝0，則＝1。如果以變量a、b、…、等表示開關(guān)元件的動(dòng)合觸頭；則、、…、等表示這些元件的動(dòng)斷觸頭。因此，開關(guān)元件本身的1、0狀態(tài)和它的動(dòng)合觸頭的1、0狀態(tài)一致，而與其動(dòng)斷觸頭的1、0狀態(tài)相反。
② 邏輯和(或)——其狀態(tài)關(guān)系式為：f＝a＋b，表示a、b中有一個(gè)為１則f＝1。這種情況對(duì)應(yīng)于動(dòng)合觸頭并聯(lián)，如圖4.5a所示，只要觸頭a、b中有一個(gè)接通（狀態(tài)1），線圈就得電（狀態(tài)1）。
③ 邏輯乘(與)——其狀態(tài)關(guān)系式為：f＝a×b，表示變量a、b同時(shí)?。眲tf＝1。這種情況對(duì)應(yīng)于動(dòng)合觸頭串聯(lián)，如圖4.5b所示，只有當(dāng)觸頭a、b同時(shí)接通時(shí)（狀態(tài)1），線圈才得電（狀態(tài)1）。
2. 邏輯代數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用
根據(jù)上述與、或、非三種基本邏輯關(guān)系可得出邏輯代數(shù)的一些基本性質(zhì)如表4-2所示。
邏輯代數(shù)的基本性質(zhì)
序號(hào)
名稱
恒等式
序號(hào)
名稱
恒等式
1
基
本
定
律
0、1法則
0+a=a
12
結(jié)合律
(a+b)+c=a+(b+c)
2
0a=a
13
(ab)c=a(bc)
3
1+a=1
14
分配律
a(b+c)=ab+ac
4
1a=a
15
(a+b)(a+c)=a+bc
5
互補(bǔ)定律
a+=1
16
吸收律
a+ab=a
6
a=0
17
a(a+b)=a
7
同一定律
a+a=a
18
a+b=a+b
8
aa=a
19
a(+b)=ab
9
反轉(zhuǎn)定律
=a
20
摩根
定律
=···…
10
交換律
a+b=b+a
21
=+++ …
11
ab=ba
利用這些基本性質(zhì)可幫助我們分析電路的工作，具體步驟是：以某一控制電器的線圈為對(duì)象，寫出與此對(duì)象有關(guān)的電路中各元件觸頭間相互聯(lián)接關(guān)系的邏輯表達(dá)式（均以未受激時(shí)的狀態(tài)來表示）。有了各線圈的邏輯表達(dá)式后，即可分析判斷當(dāng)發(fā)出主令控制信號(hào)時(shí)，哪些邏輯表達(dá)式輸出為“1”，哪些表達(dá)式由“1”變?yōu)椤?”。（信息來源：）從而可進(jìn)一步分析哪些電動(dòng)機(jī)或電磁閥等運(yùn)行狀態(tài)的改變，使機(jī)床各運(yùn)動(dòng)部件的運(yùn)行發(fā)生何種變化等。在控制電路的設(shè)計(jì)中，應(yīng)用邏輯表達(dá)式來簡化電路也是很方便的。下面舉例說明。
圖4.6a)為一較復(fù)雜的電器控制線路?，F(xiàn)將它寫成邏輯表達(dá)式，并運(yùn)用邏輯代數(shù)基本公式進(jìn)行簡化。
根據(jù)化簡后的式子畫出的控制電路如圖4.6b)所示。
3. 設(shè)計(jì)例
某—電動(dòng)機(jī)僅在繼電器中任何一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)作時(shí)才能運(yùn)轉(zhuǎn)，其他任何情況下不運(yùn)轉(zhuǎn)，試設(shè)計(jì)其控制電路。
解：當(dāng)繼電器中的任何一個(gè)動(dòng)作時(shí)，接觸器k動(dòng)作的條件可寫成：
當(dāng)繼電器中任何兩個(gè)動(dòng)作時(shí)，接觸器k動(dòng)作的條件可寫成：
根據(jù)題意，兩個(gè)條件應(yīng)是“或”的關(guān)系，即電動(dòng)機(jī)動(dòng)作的條件應(yīng)該是
接下來就可用邏輯代數(shù)的基本公式，將上面的表達(dá)式進(jìn)行化簡，即
因?yàn)? ，所以
根據(jù)上述邏輯表達(dá)式畫出的控制電路如圖4.7所示。
線路設(shè)計(jì)出來后，應(yīng)校驗(yàn)繼電器在給定之條件下接觸器k的動(dòng)作情況，而在其他 條件下（如三個(gè)繼電器都動(dòng)作或都不動(dòng)作時(shí)），接觸器k則應(yīng)不動(dòng)作，由圖4.7可容易地看出，所設(shè)計(jì)的線路是符合要求的。