正弦交流電可用三角函數(shù)式和波形圖表示，但是用三角函數(shù)式和波形圖在對電路進行分析計算往往比較復(fù)雜；正弦交流電還可用相量表示，相量表示法可簡化分析計算。相量表示法是用復(fù)數(shù)表示正弦交流電的方法，因此相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)。
1、復(fù)數(shù)及其運算
在數(shù)學(xué)中，一個復(fù)數(shù)a可以表示成代數(shù)式、指數(shù)式或極坐標(biāo)式，復(fù)數(shù)a也可以表示為復(fù)平面上的一個點或由原點指向該點的有向線段(矢量)，如圖4-3所示。該有向線段的長度a稱為復(fù)數(shù)a的模，模總是取正值。該有向線段與實軸正方向的夾角θ稱為復(fù)數(shù)a的輻角。
1、 代數(shù)式 a=a1+ja2
式中為復(fù)數(shù)單位；a1和a2分別為復(fù)數(shù)a的實部和虛部。
2、 指數(shù)式 a=aejθ
a和θ分別是a的模和輻角
3、極坐標(biāo)式 a=a∠θ
復(fù)數(shù)代數(shù)式、指數(shù)式和極坐標(biāo)式之間可以相互轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)代數(shù)式、指數(shù)式和極坐標(biāo)式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為
和
以及歐拉公式
為簡化計算，復(fù)數(shù)相加，可用代數(shù)式，兩個復(fù)數(shù)相加減等于把它們的實部和虛部分別相加減。而兩個復(fù)數(shù)乘除可用指數(shù)式和極坐標(biāo)式。
例如，若
則兩個復(fù)數(shù)相加
兩個復(fù)數(shù)相減
兩個復(fù)數(shù)相乘
兩個復(fù)數(shù)相除
例1已知復(fù)數(shù)a=15∠-400，試把它變換為代數(shù)式。
解：a=15∠-400
=15cos400-j15sin400
=11.49-j9.64
代數(shù)式為 a=11.49-j9.64
例2復(fù)數(shù) 7+j2乘以16∠-300的積。
解：把7+j2變?yōu)闃O形：
θ= arctan2/7=15.950
所以 7+j2=
（7+j2）×16∠-300 =7.28∠15.950×16∠300
=7.28×16∠-300+15.950
=116.48∠14.050
2、正弦信號的相量表示
正弦信號由幅值、頻率和初相位三個要素確定。由于在線性正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各處的電流和電壓都是正弦信號，并且它們的角頻率與正弦電源的角頻率相同，因此，在進行正弦穩(wěn)態(tài)電路分析時，對于正弦信號的幅值和初相位，是我們最為關(guān)心的兩個要素。而對于一個復(fù)數(shù)可以由模和輻角來確定，例如一個復(fù)數(shù)im∠θi ，令這個復(fù)數(shù)在復(fù)平面上以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖4-4（a）所示，在任何時刻，這個復(fù)數(shù)在虛軸上的投影等于imsin(ωt + θi )，如圖4-4（b）所示，這正好是用正弦函數(shù)表示的正弦電流i?？梢姀?fù)數(shù)
im∠θi與正弦電流i=imsin(ωt + θi )有一種相互對應(yīng)的關(guān)系，因此可用復(fù)數(shù)im∠θi來表示正弦電流i，記為：并稱其為相量。復(fù)數(shù)的模和輻角恰好分別對應(yīng)正弦電流的幅值和初相位。在此基礎(chǔ)上，再考慮已知的角頻率，就能完全表示一個正弦電流。像這樣用來表示正弦信號的特定復(fù)數(shù)稱為相量。為了將相量與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別這種命名和記法是為了強調(diào)它與正弦量的聯(lián)系，而在運算上與一般復(fù)數(shù)運算相同。符號im上加“·”。
相量和復(fù)數(shù)一樣, 它可以在復(fù)平面上用矢量表示,這種表示相量的圖稱為相量圖。為了簡練、醒目,相量圖可省去坐標(biāo)軸,如圖4-5所示。另外，對于正弦電流
可表示為
也可表示為,稱為電流的最大值相量，稱為電流的有效值相量。同樣對于正弦電壓
可表示為振幅相量或有效值相量
要特別注意的是，正弦信號是時間的實函數(shù)，并非矢量或復(fù)數(shù)量，所以，相量不等于正弦信號。但是，它們之間有相互對應(yīng)關(guān)系。
本書規(guī)定電壓或電流相量乘以后取其虛部還原成正弦函數(shù)
例如，已知角頻率為ω的正弦電流的相量， 那么該電流的表達(dá)式為
由于這種換算是約定俗成的，一般省去中間運算，直接寫成
若是有效值相量，還原成正弦函數(shù)時需要乘以。
又如，若正弦電壓u=10sin(ωt-30°)v，則電壓相量為 或
例3圖4-6所示的是電壓和電流的相量圖，并已知u=220v，i1=10a,，i2=5 a，試分別用三角函數(shù)式及復(fù)數(shù)式表示各正弦量。
解：三角函數(shù)式：
相量式 °v
°
°
例4已知電壓u1=10sinωt a, u2=10sin(ωt-120°)a，且u=u1+u2，試求u并畫出電流的相量圖。
解 : 由已知條件可得
v
電壓的相量圖如圖4-7所示
例5=3.6∠-56.30 a，=5.83∠310 a,求： 并畫相量圖。
解：變?yōu)榇鷶?shù)式：
=3.6cos∠-56.30+j3.6sin∠-56.30=2-j3a
=5.83cos∠310+j5.83sin∠310=5+j3a
=（5+j3）-（2-j3）
=3+j6=6.7a∠63.40 a
電流的相量圖如圖4-8所示。