通信系統(tǒng)都有發(fā)送機(jī)和接收機(jī)，為了提高系統(tǒng)的可靠性，通常在接收機(jī)的輸入端接有一個(gè)帶通濾波器，信道內(nèi)的噪聲構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過程，經(jīng)過該帶通濾波器之后，則變成了窄帶隨機(jī)過程，因此，討論窄帶隨機(jī)過程的規(guī)律是重要的。
一、窄帶隨機(jī)過程的定義
窄帶隨機(jī)過程的定義借助于它的功率譜密度的圖形來說明。圖3.5.1（a）中，波形的中心頻率為，帶寬為，當(dāng)滿足時(shí)，就可認(rèn)為滿足窄帶條件。
若隨機(jī)過程的功率譜滿足該條件則稱為窄帶隨機(jī)過程。
若帶通濾波器的傳輸函數(shù)滿足該條件則稱為窄帶濾波器。
隨機(jī)過程通過窄帶濾波器之后變成窄帶隨機(jī)過程。
圖3.5.1窄帶波形的頻譜及示意波形
二、窄帶隨機(jī)過程的表示方式
如果在示波器上觀察這個(gè)過程中一個(gè)樣本函數(shù)的波形，則會(huì)發(fā)現(xiàn)它像一個(gè)包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波，如圖3.5.1（b）所示。因此窄帶隨機(jī)過程可用下式表示成：
式中，是窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)；
是窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位。
窄帶隨機(jī)過程也可用下式表示
其中:
這里的和分別被稱作的同相分量和正交分量。
可見，的統(tǒng)計(jì)特性可以由、或、的統(tǒng)計(jì)特性來確定。反之，若已知的統(tǒng)計(jì)特性，怎樣來求 、或、的特性呢？
三、同相分量與正交分量的統(tǒng)計(jì)特性
設(shè)窄帶隨機(jī)過程是均值為零平穩(wěn)的窄帶高斯過程?？梢宰C明，它的同相分量和正交分量也是均值為零的平穩(wěn)高斯過程，而且與具有相同的方差。
1.數(shù)學(xué)期望
已設(shè)是平穩(wěn)的，且均值為零，即對(duì)于任意時(shí)刻，有，所以，可得
即
2.自相關(guān)函數(shù)
我們知道一些統(tǒng)計(jì)特性可以從自相關(guān)函數(shù)中得到，所以，按定義的自相關(guān)函數(shù)為
將上式展開，并取數(shù)學(xué)期望為
其中
因?yàn)槭瞧椒€(wěn)的，可以令，得
（1）
同理，令，得
（2）
如果是平穩(wěn)的，則、也是平穩(wěn)的。
由于式（1）和式（2）相等，則應(yīng)有
可見，的同相分量和正交分量具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，有
可見，有
上式表示，為的奇函數(shù)，所以
同理可以證明
得到
即
這表明，和具有相同的方差。
3.概率密度函數(shù)
因?yàn)楹徒y(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則和的二維概率密度函數(shù)為
利用式（3.5.16），上式改寫為
以上討論的是由的統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)出同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性。
四、包絡(luò)與相位的統(tǒng)計(jì)特性
現(xiàn)在來確定窄帶平穩(wěn)高斯過程的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性，隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位可表示為
利用概率論中隨機(jī)變量變換的關(guān)系來求解和的概率密度函數(shù)，把，，和在某一時(shí)刻的隨機(jī)變量用，，和來表示。根據(jù)隨機(jī)變量變換關(guān)系有
其中，為，的聯(lián)合概率密度函數(shù)；
為雅可比行列式，它等于
由和得
進(jìn)行偏微分，并代入雅可比行列式，得
于是
因?yàn)?，所以上式中包絡(luò)，而在內(nèi)取值。
利用概率論中的邊際分布知識(shí)，可求得包絡(luò)的概率密度函數(shù)為
可見，服從瑞利分布。
瑞利分布的特點(diǎn)：最大值發(fā)生在處，其值為。
圖3.5.2 窄帶高斯過程包絡(luò)的概率密度函數(shù)
利用邊際分布知識(shí)，可求得相位的概率密度函數(shù)為
可見，隨機(jī)相位在內(nèi)服從均勻分布。
所以窄帶平穩(wěn)高斯過程的包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。
五、窄帶隨機(jī)過程的功率譜密度
結(jié)論：窄帶隨機(jī)過程同相分量和正交分量具有相同的功率譜密度，而且與窄帶隨機(jī)過程的功率譜密度具有如下關(guān)系式
式中，設(shè)的頻率范圍,
證明：窄帶隨機(jī)過程的同相分量和正交分量的提取方法如圖3.5.4所示。
圖3.5.4 同相分量和正交分量的提取方法
1.同相分量
對(duì)式兩邊乘以，得
兩邊都通過截止頻率為的低通濾波器，于是輸出為，表示為
其功率譜密度為
1.同相分量
同理，對(duì)式兩邊乘以，得
用功率譜密度表示為
由以上關(guān)系式，可畫出功率譜密度、和如圖3.5.3所示。
圖3.5.3、和的功率譜密度