摘要：本文結(jié)合斜盤(pán)型軸向柱塞泵缸體優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用了浮點(diǎn)數(shù)編碼和懲罰函數(shù)適應(yīng)值度量下的遺傳算法，對(duì)有約束的實(shí)參數(shù)*化問(wèn)題作了初步研究。結(jié)果表明，遺傳算法對(duì)此問(wèn)題不僅是可行的，而且還顯示出了其全局尋優(yōu)的優(yōu)勢(shì)。
關(guān)鍵詞：遺傳算法 柱塞泵優(yōu)化
self-leanning fuzzy sliding mode control and its application to electrohydraulic
servo system
duan suolin et al
abstract:combining the optimum design on the cylinder of the swash plate axialpiston pump, this paper discusses how to apply the genetic algorithms with floatcode and punitive function to the optimum design with several real parameters.
keywords:optimization genetic algorithms
1 引言
遺傳算法〔1〕（genetic algorithms:ga）作為一種隨機(jī)搜索算法，與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，在搜索過(guò)程中不容易陷入局部*，即使在所定義的函數(shù)是不連續(xù)的、非規(guī)則的或有噪聲的情況下，它也能以很大的概率找到整體*解，因此在組合優(yōu)化等許多領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用。
機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)中的重要組成部分，但是，遺傳算法在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用卻受到很大限制。這主要是因?yàn)闄C(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問(wèn)題通常為有約束實(shí)參數(shù)*化問(wèn)題，而遺傳算法的常見(jiàn)編碼方式為二進(jìn)制編碼方式。在二進(jìn)制編碼表示中，在其串長(zhǎng)度一定的情況下，較大的變量變化區(qū)域會(huì)導(dǎo)致二進(jìn)制表示的精度不夠，而為了提高二進(jìn)制表示精度，采用更多的位，卻會(huì)使算法速度下降。兩者的矛盾造成了應(yīng)用的困難。所以，對(duì)實(shí)參數(shù)有約束*化問(wèn)題的研究是遺傳算法的難點(diǎn)之一。
本文針對(duì)上面的問(wèn)題作了初步的探索，嘗試采用懲罰函數(shù)將有約束的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，并在遺傳算法中采用了浮點(diǎn)數(shù)表示方法及其相應(yīng)的遺傳算子操作，從而避免了采用二進(jìn)制編碼所導(dǎo)致的對(duì)表示精度的限制。以此為基礎(chǔ)，針對(duì)斜盤(pán)型軸向柱塞泵缸體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并獲得了滿(mǎn)意的結(jié)果。
2 有約束*化問(wèn)題的遺傳算法
（1） 染色體的構(gòu)造
通常，采用遺傳算法時(shí)，所進(jìn)行的二進(jìn)制編碼不僅要進(jìn)行二進(jìn)制轉(zhuǎn)換，而且表達(dá)的精度也會(huì)受到限制，假設(shè)優(yōu)化設(shè)計(jì)中只有一個(gè)設(shè)計(jì)變量x。其上限為a，下限為b，用二進(jìn)制表示的精度為（a-b）/n（n為二進(jìn)制串的位長(zhǎng)度）。若a-b=1cm，則q=1/ncm。當(dāng)n=8時(shí)，q=0.125cm；當(dāng)n=16時(shí)，q=0.0625cm，當(dāng)n=32時(shí)，q=0.03125cm。由此可見(jiàn)，采用二進(jìn)制串表示一個(gè)設(shè)計(jì)變量，即使其串長(zhǎng)度達(dá)到32位，也無(wú)法達(dá)到機(jī)械設(shè)計(jì)常見(jiàn)的0.01的精度要求，而這在多設(shè)計(jì)變量中問(wèn)題會(huì)更加突出。
為了解決這一問(wèn)題，本文直接采用浮點(diǎn)數(shù)表示方案。在浮點(diǎn)數(shù)表示中，各代成員都是用染色體表示，染色體為參數(shù)矢量=（x1，x2，…，xm）∈rm，其中的等位基因xi均為實(shí)數(shù)。浮點(diǎn)數(shù)表示法的精度依賴(lài)于計(jì)算機(jī)，但一般來(lái)說(shuō)比二進(jìn)制表示高得多。此外，浮點(diǎn)數(shù)能夠表示非常大的區(qū)域，而在二進(jìn)制串長(zhǎng)度一定的情況下，區(qū)域規(guī)模的增大會(huì)導(dǎo)致二進(jìn)制表示的精度下降。
（2） 評(píng)價(jià)函數(shù)的選取
機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)常常是有約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)。在有約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，要找到一個(gè)可行解與找到一個(gè)的解幾乎是一樣的困難。為了從不可行解中獲得必要的信息，引入懲罰函數(shù)將有約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題。
考慮約束zui小化問(wèn)題，其形式為min g（x），且使bj（x）≥0，j=1，2，…，m。將它轉(zhuǎn)化為無(wú)約束形式。即構(gòu)造并求式中：
maxf（x）（1）
f（x）=g（x）·p（x）（2）
（3）
（4）
（5）其中，k和β都是常數(shù)：當(dāng)g＞0時(shí)，β=1；當(dāng)g0時(shí)，β=-1。p（x）是違反約束的懲罰函數(shù)，g（x）是度量解的質(zhì)量。
在適應(yīng)值的計(jì)算過(guò)程中，同時(shí)引入了適應(yīng)值比例變換機(jī)制，若原函數(shù)為f，比例適應(yīng)函數(shù)為u，指數(shù)比例變換滿(mǎn)足關(guān)系式：u（f）＝exp（-β*f），從表1和表2可看出指數(shù)比例變換的作用：
群體中有6個(gè)串，其中一個(gè)串的適應(yīng)值很大。現(xiàn)在進(jìn)行β=0.01的指數(shù)比例變換，原值和變換后的值見(jiàn)表1，可發(fā)現(xiàn)經(jīng)變換后群體差異縮小了。
表1 β=0.01時(shí)適應(yīng)值和比例變換值
原適應(yīng)值
（f） 200 8 7 6 5 4
比例適應(yīng)值
（u） 2.718 1.041 1.036 1.030 1.025 1.020
群體中有6個(gè)串，它們的適應(yīng)值較接近。現(xiàn)在進(jìn)行β=0.1的指數(shù)比例變換，原值和變換后的值見(jiàn)
表2?？砂l(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)變換后群體差異縮小了。 表2 β=0.1時(shí)適應(yīng)值和比例變換值
原適應(yīng)值
（f） 9 8 7 6 5 4
比例適應(yīng)值
（u） 90 55 33 20 12 7
可見(jiàn)，適應(yīng)值指數(shù)比例變換機(jī)制的引入，一方面可以防止在搜索起始階段由于群體中極少的個(gè)體相對(duì)于大多數(shù)個(gè)體而言適應(yīng)性非常好而產(chǎn)生的過(guò)早收斂，一方面可以防止在搜縈后期由于群體的平均適應(yīng)值接近于群體的*適應(yīng)值而產(chǎn)生的競(jìng)爭(zhēng)消失。 （3） 遺傳算子操作
① 選擇規(guī)則。選擇規(guī)則的作用是把當(dāng)前群體中的個(gè)體按與適應(yīng)值成比例的概率復(fù)制到新的群體中。在通常情況下，采用輪盤(pán)賭選擇機(jī)制，其主要步驟如下：
a.計(jì)算群體中所有染色體適應(yīng)值的和：s=σfi
b.計(jì)算隨機(jī)值m=rand（o，s）。
c.從群體中編號(hào)為1的染色體開(kāi)始，將其適應(yīng)值與后繼染色體中的適應(yīng)值相加，直到累加和大于或等于m。
zui后加進(jìn)去的染色體就是要選擇的染色體。
② 雜交規(guī)則。由于采用了浮點(diǎn)數(shù)編碼方案，因此，它的雜交算子和下面的變異算子都必須具有數(shù)值特點(diǎn)。
雜交算子的定義為求兩個(gè)向量的線性組合，即如果第t代的個(gè)體sv和sw雜交，則產(chǎn)生的子代為：
st+1v=astw+（1-a）stv（6）
st+1w=astv+（1-a）stw（7）
③ 變異規(guī)則。變異算子定義為：如果第t代個(gè)體為xi=（v1，…，vn），則每個(gè)分量vk*相同的以概率進(jìn)行變異，一次變異的結(jié)果為（v1，…，vk′，…，vn），1≤k≤n，vk的值按下面隨機(jī)方式?jīng)Q定：
（8）δ（t，y）=y〔1-r（1-t/t）*b〕（9）
其中，lb和ub分別為第k個(gè)參變量定義域的左右界，r是〔0，1〕上的隨機(jī)數(shù)，t是遺傳算法中的zui大代數(shù)。
（4） 停止準(zhǔn)則
遺傳算法已經(jīng)迭代了預(yù)置的代數(shù)，或者獲得了滿(mǎn)意的結(jié)果。
3 斜盤(pán)型軸向柱塞泵缸體優(yōu)化設(shè)計(jì)的ga算法
（1） 斜盤(pán)型軸向柱塞泵缸體優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型
斜盤(pán)型軸向柱塞泵是泵的主要品種之一，它的優(yōu)化設(shè)計(jì)要求在滿(mǎn)足泵的性能（排量q）強(qiáng)度和剛度要求的前提下，盡量使泵的結(jié)構(gòu)緊湊（即體積小，質(zhì)量輕，用材少）。因此它是一個(gè)多設(shè)計(jì)變量、多約束、實(shí)參數(shù)*化問(wèn)題。根據(jù)參考文獻(xiàn)〔3〕所得的缸體設(shè)計(jì)理論模型，可以建立如下的優(yōu)化模型（其結(jié)構(gòu)及參數(shù)見(jiàn)圖）：
設(shè)計(jì)變量取為
（10）目標(biāo)函數(shù)為
f（x）=vc=π〔（d2-d21）（l+δl-zx21l）〕/4-zs0δl（11）
求取f（x）的zui小值min f（x）。
式中：d=2r+2δ+x1
δ=min（δ1,δ2）
δ1=2rsin（π/z）-x1
δ2=r-x1/2-d1v/2
r=4qth/（zx1tgβ）
l=x2＋2rtgβmax+△h
缸體結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖
約束條件
缸體強(qiáng)度條件為：
（12）缸體剛度條件為：
（13）缸孔與柱塞接觸強(qiáng)度條件為：
g3（x）=2frl/x1-〔p〕≤0（14）
柱塞zui大相對(duì)滑動(dòng)速度約束條件：
g4（x）=rπntgβmax/30-〔υmax〕≤0（15）
比功率條件為：
g5（x）=r（πn/30）（2/x1）（frl）φ＝75tgβmaxsin75°-〔pυ〕≤0（16）
為保證幾何長(zhǎng)度d，ll，δ必須為正值而產(chǎn)生的約束條件：
g6（x）=-x1≤0（17）
g7（x）=-x2≤0（18）
g8（x）=-δ≤0（19）
為保證分母項(xiàng)始終大于0而產(chǎn)生的約束條件：
g9（x）=f（3l0/x2-2+ll/x2）sinβmax-cosβmax≤0（20）
（2） 缸體優(yōu)化設(shè)計(jì)的遺傳算法
缸體優(yōu)化設(shè)計(jì)的遺傳算法如下：
step 1 初始化
輸入?yún)?shù)：柱塞數(shù)z
算法參數(shù)pc，pm，pop_size，max_gen
step 2 產(chǎn)生初始種群。
step 3 計(jì)算每一個(gè)染色體對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)值i=1
① 按2之（3）中的懲罰函數(shù)法和適應(yīng)值比例變換機(jī)制計(jì)算個(gè)染色體的適應(yīng)值f1。
② i=i+1，若i＞pop_size，則轉(zhuǎn)向step4；否則轉(zhuǎn)向 step3之①
step4 停止準(zhǔn)則：
滿(mǎn)足下列條件之一，則算法停止：
① 迭代數(shù)＞max_gen；
② ft+1-ft＜ε
否則轉(zhuǎn)向step5。
step5選擇
采用2之（3）①的輪盤(pán)賭選擇機(jī)制。
step6 雜交
采用2之（3）②雜交規(guī)則進(jìn)行雜交。
step7變異
采用2之（3）③的變異規(guī)則進(jìn)行變異。
然后轉(zhuǎn)向step3。
4 計(jì)算結(jié)果及其分析
根據(jù)以上的步驟，獲得了表3的計(jì)算結(jié)果：
表3 優(yōu)化結(jié)果
z d
（cm） l1
（cm） vc
（cm） r
（cm） l
（cm） d
（cm） δ1
（cm） δ2
（cm） frl
（kn）
7 1.60 4.28 289.3 2.80 6.60 8.50 ／ ／ ／
5 1.78 4.10 425.8 3.08 6.40 9.78 1.84 0.92 0.34
6 1.68 3.87 316.2 2.88 6.04 8.97 1.20 0.76 5.65
7 1.60 3.69 248.1 2.74 5.77 8.41 0.78 0.67 5.10
8 1.49 3.58 231.2 2.76 5.68 8.26 0.62 0.74 4.50
9 1.38 3.50 231.1 2.86 5.66 8.25 0.58 0.89 3.97
分析表3中的數(shù)據(jù)，可以得出如下的結(jié)論：
（1） 表3中的vc和d的變化關(guān)系，符合參考文獻(xiàn)〔3〕中得出的結(jié)論：在 0＜d＜2cm的區(qū)間內(nèi)，d的微小增加會(huì)使vc很快減小。
（2） 把用遺傳算法得到的vc的優(yōu)化值和參考文獻(xiàn)〔3〕中用隨機(jī)搜索算法得到的值加以比較，可以發(fā)現(xiàn)前者優(yōu)于后者，表明了遺傳算法在搜索過(guò)程中具有全局優(yōu)化的特點(diǎn)，也進(jìn)一步表明了將遺傳算法用于實(shí)參數(shù)、有約束*化問(wèn)題是可行的。
（3） 為了使用浮點(diǎn)數(shù)編碼方案而采用的兩個(gè)向量線性組合的雜交算子對(duì)模式具有高度的破壞作用。參考文獻(xiàn)〔2〕中提出了采用兩種雜交算子，即以50%的概率用線性組合的雜交，50%的概率用實(shí)域雜交，對(duì)這種方法的有效性，還有待于進(jìn)一步研究。